Równanie fal walcowych. Metoda redukcji

Rozważmy równanie fali dla \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \)

\( u_{tt}-a^2 \Delta u=0 \qquad {\rm dla}\quad (x,y) \in D,\hskip 0.5pc t>0, \)

z warunkami początkowymi

\( u(x,y,0)=\varphi (x,y),\quad u_t(x,y,0)=\psi (x,y)\qquad {\rm dla}\quad (x,y) \in D, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc D\subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc\Delta = \frac {\partial ^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2}{\partial y^2}\hskip 0.3pc \).
Okazuje się, że nie widać prostego podstawienia które pozwoliłoby zredukować problem dwuwymiarowy do problemu jednowymiarowego. Posłużymy się więc następującym chwytem. Rozważamy nasz problem w przestrzeni trójwymiarowej przyjmując, że funkcje występujące w równaniu nie zależą od zmiennej \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \). Mianowicie połóżmy

\( \widetilde u(x,y,z,t) = u(x,y,t), \quad\widetilde{\varphi} (x,y,z) = \varphi (x,y), \quad\widetilde{\psi}(x,y,z) = \psi (x,y). \)

Niech \( \hskip 0.3pc \widetilde u\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem problemu

\( \widetilde u_{tt}-a^2 \Delta\widetilde u=0, \qquad (x,y,z) \in V,\,\,\,t>0, \)

\( \widetilde u(x,y,z,0)=\widetilde{\varphi} (x,y,z),\quad\widetilde u_t(x,y,z,0)=\widetilde{\psi} (x,y,z),\qquad (x,y,z) \in V, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc V=D\times \mathbb R\hskip 0.3pc \).
Niech \( \hskip 0.3pc P_0=(x_0,y_0)\in D\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc S(P_0,at)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc K(P_0,at)\hskip 0.3pc \) oznacza, odpowiednio sferę i kulę w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) zawarte w \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc \) o środku w punkcie \( \hskip 0.3pc P_0\hskip 0.3pc \) i promieniu \( \hskip 0.3pc a t\hskip 0.3pc \), a \( \hskip 0.3pc \widetilde S(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \widetilde K(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \), gdzie \( \hskip 0.3pc \widetilde P_0=(x_0,y_0,z_0)\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc z_0 \in \mathbb R\hskip 0.3pc \), sferę i kulę w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^3\hskip 0.3pc \). Niech \( \hskip 0.3pc \widetilde P = (\xi, \eta, \zeta) \hskip 0.3pc \) będzie punktem bieżącym na sferze \( \hskip 0.3pc \widetilde S(\widetilde P_0,at)\hskip 0.3pc \).
Na mocy wzoru Kirchhoffa

(3)

\( \widetilde u(x_0,y_0,z_0,t)= \dfrac 1{4\pi a^2}\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t} \displaystyle\iint\limits_{\widetilde S(\widetilde P_0,at) } \dfrac {\widetilde {\varphi} (\xi, \eta, \zeta)}tdS + \displaystyle\iint\limits_{\widetilde S(\widetilde P_0,at) }\dfrac {\widetilde{\psi}(\xi, \eta, \zeta)}t dS \Bigg) \)

Zamieńmy teraz całki powierzchniowe we wzorze ( 3 ) na całki podwójne. Oczywiście równanie sfery \( \hskip 0.3pc \widetilde S(\widetilde P_0, \,at) \hskip 0.3pc \) możemy zapisać za pomocą równań półsfer:

\( \zeta =z_0+ g (\xi ,\eta ),\quad \zeta =z_0- g (\xi ,\eta ), \qquad( \xi ,\eta )\in K(P_0,at), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc K(P_0,at)\hskip 0.3pc \) oznacza kulę domkniętą w przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^2\hskip 0.3pc \), a

\( g ( \xi, \eta )= \sqrt{(at)^2-(\xi -x_0)^2-(\eta -y_0)^2}. \)

Nietrudno sprawdzić, że element powierzchniowy na obu półsferach wyraża się wzorem

\( dS= \sqrt{1+(g_{\xi} )^2+ (g_{\eta} )^2}\,d\xi\,d\eta =\dfrac {at}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x_0)^2-(\eta -y_0)^2}}d\xi d\eta. \)

W konsekwencji, uwzględniając definicje funkcji \( \hskip 0.3pc \widetilde{\varphi}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \widetilde {\psi}\hskip 0.3pc \), po zamianie całek powierzchniowych na całki podwójne, otrzymamy

\( \widetilde u(x_0,y_0,z_0,t)=\dfrac 1{2\pi a}\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t} \displaystyle\iint\limits_{K (P_0,at)} \dfrac {\varphi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x_0)^2 -(\eta -y_0 )^2}}+ \displaystyle\iint\limits_{K (P_0,at)} \dfrac {\psi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x_0)^2 -(\eta -y_0 )^2}} \Bigg). \)

Ponieważ punkt \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\in D\hskip 0.3pc \) był dobrany dowolnie, możemy opuścić wskaźnik \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \) Ponadto, uwzględniając związek \( \hskip 0.3pc u(x,y,t)=\widetilde u(x ,y,z,t),\hskip 0.3pc \) otrzymamy rozwiązanie problemu ( 1 ), ( 2 ) w postaci tzw. wzoru Poissona:

\( u(x,y,t)= \dfrac 1{2\pi a}\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t} \displaystyle\iint\limits_{K (P,at)} \dfrac {\varphi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x)^2 -(\eta -y )^2}}+\displaystyle\iint\limits_{K (P,at)} \dfrac {\psi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x)^2 -(\eta -y )^2}} \Bigg). \)

Przykład 1: Niejednorodne równanie fal walcowych

Znaleźć rozwiązanie niejednorodnego równania fali płaskiej

\( u_{tt}-a^2 \Delta u = f(x,y,t) \qquad {\rm dla}\quad (x,y) \in D,\hskip 0.7pc t>0, \)

spełniające warunki początkowe

\( u(x,y,0)=\varphi (x,y), \quad u_t(x,y,0)= \psi (x,y) \qquad {\rm dla}\quad (x,y) \in D. \)

Zgodnie z zasadą liniowości rozwiązanie tego problemu możemy przedstawić jako sumę rozwiązania problemu ( 1 ), ( 2 ) oraz problemu

(4)

\( w_{tt}=a^2 \Delta w +f(x,y,t), \quad w(x,y,0)=0,\hskip 0.6pc w_t(x,y,0)=0. \)

Rozważamy problem pomocniczy

\( v_{tt}=a^2(v_{xx}+v_{yy}), \quad (x,y)\in D,\hskip 0.6pc t\geq \tau >0, \)

\( v(x,y,\tau )=0,\hskip 0.6pc v_t(x,y,\tau )=f(x,y,\tau ),\quad (x,y)\in D \)

Zgodnie ze wzorem Poissona rozwiązanie tego problemu możemy zapisać w postaci

\( v(x,y,t;\tau )= \dfrac 1{2\pi a}\displaystyle\iint\limits_{K \big( P,a(t-\tau )\big)} \dfrac {f (\xi, \eta , \tau )d\xi d\eta}{\sqrt{ a^2(t-\tau)^2-(\xi -x)^2 -(\eta -y)^2}}. \)

Prosty rachunek pokazuje, że funkcja

\( w(x,y,t)=\displaystyle\int_0^t v(x,y,t;\tau )d\tau \)

jest rozwiązaniem problemu ( 4 ).
Zatem szukane rozwiązanie ma postać:

\( \begin{aligned}u(x,y,t)=& \dfrac 1{2\pi a}\Bigg(\dfrac{\partial }{\partial t} \displaystyle\iint\limits_{K (P,at)} \dfrac {\varphi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x )^2 -(\eta -y)^2}}+\displaystyle\iint\limits_{K (P,at)} \dfrac {\psi (\xi, \eta )d\xi d\eta}{\sqrt{(at)^2-(\xi -x )^2 -(\eta -y)^2}}+ \\&\displaystyle\int \limits _0^t\Big(\displaystyle\iint\limits_{K \big( P,a(t-\tau )\big)} \dfrac {f(\xi, \eta , \tau )d\xi d\eta}{\sqrt{a^2(t-\tau)^2-(\xi -x)^2 -(\eta -y)^2}}\Big) d\tau\Bigg).\end{aligned} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Równanie fal walcowych. Metoda redukcji

Przykład 1: Niejednorodne równanie fal walcowych